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3.6.2 Simple Linear Regression

3.6.2 단순 선형 회귀 실습

In this section we will construct model matrices (also called design matrices) using the ModelSpec() transform from ISLP.models.

이번 섹션에서 우리는 ISLP.models 모듈 환경에서 파생된 ModelSpec() 변환 도구를 적용 활용하여 이른바 모델 행렬(혹은 설계 행렬이라고도 칭함)을 직접 구축 조립해 볼 것입니다.

We will use the Boston housing data set, which is contained in the ISLP package.

본 과정 내내 우린 ISLP 패키지 풀안에 기본 수록된 저명한 Boston 주택 데이터 세트를 한껏 차용 활용할 것입니다.

The Boston dataset records medv (median house value) for 506 neighborhoods around Boston.

해당 Boston 데이터 세트는 보스턴 시 인근 506 군데 주거지 이웃 동네를 돌며 각각 조사 기록한 medv (주택 중간값) 지표 항목 단면들을 충실히 담고 서술 기록합니다.

We will build a regression model to predict medv using 13 predictors such as rmvar (average number of rooms per house), age (proportion of owner-occupied units built prior to 1940), and lstat (percent of households with low socioeconomic status).

여기에 발맞춰, 우린 집마다의 평균 방 개수를 일컫는 rmvar 이나, 1940년 이전에 건축 지어 자가 점유된 낡은 거주 가구 비율 잣대인 age, 그리고 낮은 하위 사회경제적 계층 가구 비중 퍼센트 치수인 lstat 따위의 13가지 예측 변수 무리들을 복합 활용해 궁극적으로 최종 응답 지표인 이 medv 가치를 추정 판단 수렴 해낼 하나의 정교한 회귀 모델 단면을 새로 완성 적합해 구축 지어 올릴 것입니다.

We will use statsmodels for this task, a Python package that implements several commonly used regression methods.

나아가 이 난제 수행 조달 작업을 위해 우리가 기용 선택할 주력 도구는 다름 아닌 Python 용 특화 패키지 statsmodels 로, 이는 현장에서 여러 자주 널리 통용 활용되는 회귀 모형 요법들을 대거 품고 일괄 산입해 구현해 놓은 매우 강력한 도구 묶음입니다.

We have included a simple loading function load_data() in the ISLP package:

우리는 이런 기초 파생 로딩 조달 목적을 위해 자체 ISLP 패키지 구성 안에 아주 기초 단순한 데이터 로드 전용 기능 함수 load_data() 편린 하나를 고스란히 동반 포함 산입시켜 두었습니다:

In [8]: Boston = load_data("Boston")
Boston.columns

Out[8]: Index(['crim', 'zn', 'indus', 'chas', 'nox', 'rm', 'age', 'dis',
'rad', 'tax', 'ptratio', 'black', 'lstat', 'medv'],
dtype='object')

Type Boston? to find out more about these data.

프롬프트 상에 Boston? 코드를 타건 타이핑해 보면 이 관련 데이터 무리들의 부연 세부사항 단면 전반을 조금 더 상세히 살펴 파악해 볼 수 있습니다.

We start by using the sm.OLS() function to fit a simple linear regression model.

본격적인 이 첫 실습 시작의 단추 돌입으로, 우리는 sm.OLS() 도구 함수를 당겨 차용 활용함으로써 일개 아주 가장 기초 단순한 형태의 단순 선형 회귀 모델 궤도 단면을 접목 구동해 적합 시켜 볼 것입니다.

Our response will be medv and lstat will be the single predictor.

여기서 설정할 우리의 타사 응답 과녁 주체치로는 medv 를 삼고, 반면 오직 홀로인 단일 예측 변수 도구 조각으로는 lstat 요소를 지정 기용 선택합니다.

For this model, we can create the model matrix by hand.

당면 이 구 모델 적합 조달 과정 단면을 수행하고자, 우리는 당장 손수 이 대상 모델 행렬 판을 수동으로 일일이 조작 직조해 낼 수도 있습니다.

In [9]: X = pd.DataFrame({'intercept': np.ones(Boston.shape[0]),
'lstat': Boston['lstat']})
X[:4]

Out[9]:    intercept  lstat
0        1.0   4.98
1        1.0   9.14
2        1.0   4.03
3        1.0   2.94

We extract the response, and fit the model.

이윽고 해당 데이터 판에서 대상 응답치만을 단절 분리 추출 파생하여, 최종 모델에 입성 적합시킵니다.

In [10]: y = Boston['medv']
model = sm.OLS(y, X)
results = model.fit()

Note that sm.OLS() does not fit the model; it specifies the model, and then model.fit() does the actual fitting.

다만 여기서 명심할 점은 이 투입 sm.OLS() 도구 기능 자체가 곧장 실제 함수 모델 적합을 직접 연산해 달성 수행해 내진 않는다는 점입니다; 이 코드는 그저 모델의 개별 설계 사양 골격만을 이리저리 규정 명시 정의해 쳐둘 뿐이고, 막상 뒤이은 model.fit() 기능 명령만이 실질 본연 진짜 도출 적합 전 과정을 마침내 단행 수행해 산출 냅니다.

Our ISLP function summarize() produces a simple table of the parameter estimates, their standard errors, $t$-statistics and p-values.

우리의 이 친숙한 ISLP 내장 산하 구동 함수 summarize() 도구는, 투입 결과에서 각 모수 계수 항목 추정치 표본들이며, 이들 고유의 얽힌 부수 표준 오차 치수들, 그리고 도출된 $t$-통계량과 $p$-값 등의 여러 척도 항목을 일목요연 단숨에 정리해 간단한 단편 표 도면 테이블 형태로 아주 쉽사리 일괄 배출 생산 제공해 줍니다.

The function takes a single argument, such as the object results returned here by the fit method, and returns such a summary.

이 도출 함수 잣대 역량은 딱 하나 단일 구동 연쇄 독립 인자만을 그 입력 대상물로 받아 취하는데, 예컨대 방금 위에서 조달 도출 연산해 fit 파생 메서드로 일궈내 산출 돌려받았던 바로 저 results 모델 반환 객체 통 덩어리가 그 좋은 투입 대입 일례이며, 이를 토대로 즉각 위와 같은 일련 명세 요약(summary) 단면 지표를 도출 반환해 냅니다.

In [11]: summarize(results)

Out[11]:

Before we describe other methods for working with fitted models, we outline a more useful and general framework for constructing a model matrix X.

조달 적합 산입된 이들 실체 모델 도구 단면들을 직접 이리저리 다루며 구동해 볼 다른 여타 제반 방법론 체계를 계속 이어 더 묘사 소개 설명하기에 앞서, 우리는 먼저 실체 모델 행렬 X 자체를 조금 더 편히 요긴 능숙하게 직조 조립 파생해 구축해 낼 더욱 유용 다분하고 포괄적 보편 일반적인 제반 토대 프레임워크 뼈대 기조를 아주 짧게 덧붙여 개요 윤곽선으로나마 그려 볼까 합니다.

Using Transformations: Fit and Transform (변환 활용하기: 적합 및 변환)

Our model above has a single predictor, and constructing X was straightforward.

위 사례 국면에서 다룬 모델 꼴은 단지 단 하나의 예측 변수 조각 부문만을 보유 접목했던 터라, 행렬 X 를 꾸려 지어 축조하기란 몹시 별 무리 없이 거침 직관 단순 직행(straightforward)이었습니다.

In practice we often fit models with more than one predictor, typically selected from an array or data frame.

하지만 실제 실무 통계 일선 환경에서는 기저 배열(array)이라거나 혹은 데이터 프레임 단면 판 덩어리 속에서 차출 발췌한 2개 이상의 아주 복수 다변 예측 변수를 한데 결집 투입해 모델에 아울러 적합시키는 상황 전개가 비일비재 전형적(typically)으로 번번 번성 흔합니다.

We may wish to introduce transformations to the variables before fitting the model, specify interactions between variables, and expand some particular variables into sets of variables (e.g. polynomials).

우리는 때때로 모델을 본 적합하기 전 선행 조치로 이들 제반 예측 변수 파편들을 상대로 다채 다양한 어떤 이질 수학 변환(transformations) 과정을 가산 투입시켜 볼 수도 있고, 여력이 닿음 변수 서로 상호 간의 복잡 상호작용성(interactions) 면모를 명시 기재 적시 도출시킬 수도 있으며, 때론 특정 특정 소수 몇몇 여타 단일 변수 조각들 위를 아예 덧입혀 포괄 집합 변수 묶음 체제 세트(가령 여러 다항식(polynomials) 일련 확산 등) 양태로 훌쩍 팽창 변환 연장(expand)시켜 쓸 소지도 큽니다.

The sklearn package has a particular notion for this type of task: a transform.

sklearn 패키지 풀안에는 이 부문의 전 방위 복잡한 조달 부가 작업을 전담 구동키 위해 내세울 핵심 아주 특정 특수 개념 기조가 도사리는데: 이른바 변환(transform) 단위 모의 잣대가 바로 그것입니다.

A transform is an object that is created with some parameters as arguments.

변환 즉 transform 산입체 개념이란, 인자(arguments) 단면들 격으로 투입 지정된 여러 변형 모수 파라미터 조각들의 통제를 받아 기저 구축 파생되는 어느 개별 단위 객체 조각을 칭합니다.

The object has two main methods: fit() and ``.

이 도출 변환 단위 객체 구도 속에는 보통 2대 주축 중추가 되는 대변 메서드 틀이 담기는데: 바로 fit() 단면과 `` 명령입니다.

.fit()
.

We provide a general approach for specifying models and constructing the model matrix through the transform ModelSpec() in the ISLP library.

우리는 ISLP 라이브러리 품 안에 별도 편입 구비되어 내장 배치된 투사 변환기 ModelSpec() 도구 매개체를 필두 관통 매개로 삼아, 모델 꼴을 속속 정의 명시 표기하고 나아가 실체 모델 행렬 단면을 지어 가공 직조할 아주 포괄 전형 일반 접근(general approach) 기조 도면을 제공 배달해 전개합니다.

ModelSpec() (renamed MS() in the preamble) creates a transform object, and then a pair of methods `` and fit() are used to construct a corresponding model matrix.

앞서 맨 위쪽 패키지 서술 서두 대목 단면에서 명칭을 아주 짧게 MS() 형태 부호로 개명 압축해 기재 불렀던 이 ModelSpec() 수식 자체는 일개 독자 변환 전용 모델 객체 개편 구조 단위 한 덩어리를 고스란히 떡하니 파생 산출 생성해 만드는데, 이윽고 이 틈 안에 포섭된 `` 그리고 fit() 으로 이루어진 메서드 쌍벌 도구 한 쌍이 재차 단합 연동해 나서 향후 우리 타깃 목적으로 응답 동조 결부된 실 해당 편 모델 행렬 전반 진용을 마침내 오롯 완성형으로 짓고 고안 구축 조립해 냅니다.

We first describe this process for our simple regression model using a single predictor lstat in the Boston data frame, but will use it repeatedly in more complex tasks in this and other labs in this book.

우선 본 장의 서막으론 이 Boston 테두리 데이터 프레임 단면 판 덩어리 산하에 소속 편입된 일개 한 가지 외톨이 예측 변수 lstat 조각 한 개만을 빌려다 기용 접목 발탁 채택한 매우 초간단 단순 회귀(simple regression) 추정 국면 전 모델 기조 안에서 이 일련 산입 변환 도출 구축 과정을 풀이 시연 설명해 보이겠지만, 이내 훗날 이 책 곳곳 여타 타 실습 연구 장 내의 몹시 심도 더 깊고 난해 다변 복잡한 여타 과업 지표 단면상들에 차출 마주쳐 당면 도달할 때마다 줄곧 끈질 연거푸 똑같은 양상을 재차 반복 다중 적용 구동 활용해 나설 터입니다.

In our case the transform is created by the expression design = MS(['lstat']).

당면 우리 파생 코딩 사례에서, 변환 조달 객체 산입 꼴은 design = MS(['lstat']) 라는 파이썬 선언 표현 구문을 통해 비로소 고안 도출 생성 지어 발현됩니다.

The fit() method takes the original array and may do some initial computations on it, as specified in the transform object.

여기 등장한 fit() 편린 메서드는 기저 오리지널 배열 단면 조각을 입력 대상으로 대뜸 통째로 취한 다음, 그 상위 변환 포괄 객체 안에 사전 명시 규정 설정된 갖은 속성 잣대 수위 지표에 맞추어 여러 일부 몇몇 사전 초기 부가 연산 도출 구동 단계를 가해 보탤 수도 있습니다.

For example, it may compute means and standard deviations for centering and scaling.

단적인 예시 부합으로, 데이터 영점 조준 이동 중앙화(centering)라든가 크기 맞춤 치환 스케일링(scaling) 등 제반 보정 작업을 이룩 단행하고자 해당 데이터 전 분포 평균치며 곁들여 수반 포괄된 이변 표준편차 요소들을 이리저리 도출 연산해 미리 계산해 보유해 둘 요량 단면도 배제할 순 없습니다.

The `` method applies the fitted transformation to the array of data, and produces the model matrix.

반면 단짝을 이룬 `` 조명 기능 파생 메서드는 앞선 이런 단면으로 묘사 파생 완성 도출해 둔 제반 그 적합(fitted) 변환 도출식 지향 지표 자체를 실제 원천 데이터 배열 조각 원판 상단에 모조리 일괄 단번에 적중 적용 투여해, 궁극적으로 우리 모델 행렬(model matrix) 판을 마침내 고스란히 양산 찍어 반환해 생산해 냅니다.

In [12]: design = MS(['lstat'])
design = design.fit(Boston)
X = design.transform(Boston)
X[:4]

Out[12]:    intercept  lstat
0        1.0   4.98
1        1.0   9.14
2        1.0   4.03
3        1.0   2.94

In this simple case, the fit() method does very little; it simply checks that the variable 'lstat' specified in design exists in Boston.

그러나 지금 이 몹시 일개 단순 국면 사례 하에선 사실 fit() 메서드 무리가 실제 직접 구동 지령 단행해 행하는 연산 조달 비중 활동이 아주 매우 희소 극히 미미(does very little)한데; 기껏해야 design 지정 변수 조달식 명세 변환 객체 파편 안에 사전 명시 규정해 둔 타깃 변수 'lstat' 존재 항목 여부 잣대가 과연 대상 Boston 기저 데이터 단면 배열 상단에 확실 실제 자리 매김해 존재하는지 여부를 단순 진단 조회 체킹 감식해 살피는 게 거진 전부 모조리 일쑤입니다.

Then `` constructs the model matrix with two columns: an intercept and the variable lstat.

이후 바통을 넘겨받는 `` 구동 지령 편이 본격 구동 개입하면서 모델 행렬판 판세 단면을 단 2개의 조달 열 항목 기둥(columns): 고정 기저 상수판 intercept(절편)와 대명 예측변수 기조 lstat 요건 기둥 조각으로 구성 조합 변환 치환해 묶어 최종 구축 축조해 지어 세웁니다.

These two operations can be combined with the fit_ method.

이 2단 파생 다중 구동 복합 운영 연산 지령 파편들은 편의 도모 일환으로 fit_ 이중 복합 메서드 명령어 단일 하나 구문 속으로 무리 일렬 통합(combined) 합체 구성 지어 운용 접목할 수 있습니다.

In [13]: design = MS(['lstat'])
X = design.fit_transform(Boston)
X[:4]

Out[13]:    intercept  lstat
0        1.0   4.98
1        1.0   9.14
2        1.0   4.03
3        1.0   2.94

Note that, as in the previous code chunk when the two steps were done separately, the design object is changed as a result of the fit() operation.

여기서 조금 더 주목 유념 조명해 눈여겨볼 단면 대목 부문은, 앞서 2단 쪼개기 조도 다중 연계 스텝이 분할 가동 분리 구동 분할 연립 독립 시행 수행 조달(separately)됐던 바로 직전 앞 선 코드 조각(chunk) 맥락 환경 선상 때와 매한 한결 똑같이 마찬가지 공히 일렬 동일하게, 이 후위 단일 통합 복합체 운용 시행 과정 결부 도달 후유 여파 수반 대목 하에선 여느 선행 기조처럼 해당 기반 design 지표 산입 개체(object) 단면 속성 자체가 전향 조달 기조 fit() 동반 제반 연산 도출 작용 지령 영향 파급에 따라 여지 다분 변경 수정 속결 치환(changed) 귀결 변화해 버린단 것입니다.

The power of this pipeline will become clearer when we fit more complex models that involve interactions and transformations.

이처럼 맞물려 전개되는 일괄 파이프라인(pipeline) 파생 체제가 뿜어 발휘해 대는 도출 능률의 위력은, 향후 여러 변수 상호 작용(interactions)이며 다변 수학적 변환(transformations) 과정들이 얽히고설킨 훨씬 더 복잡한 모델을 적합(fit)시킬 때에 이르러서야 비로소 한층 명확해(become clearer)집니다.

Let’s return to our fitted regression model.

자 그럼 당초 조준 도출 조립 구축해 올렸었던 우리 진영 적합 회귀 모델 잣대 근원 산입 요 결 전방 시야로 다시 눈길 단면 회귀 귀향 되돌아 이목 집중을 선회해 볼까요.

The object results has several methods that can be used for inference.

산입 이 거대 파생 출력물 도출 개체 덩어리인 results 모델 반환 통 객체 속 부문 안에는 훗날 다양한 전위 추론(inference) 지표 조달 진척 분석 목적으로 유용 발탁 차용해 가져다 꺼 편 요긴 쓸 만한 여러 다파생 독립 메서드 가지 수 덩어리들이 대거 빼곡 부속 탑재 수록 장만 구비 동반 수록되어 포진해 있습니다.

We already presented a function summarize() for showing the essentials of the fit.

우리는 앞서 이 모델 단면 도출 적합의 중추 진수(essentials) 고갱이만을 딱 간추려 선보여 보여주기 위한(for showing) 요긴한 도달 목적 부합 함수 summarize() 를 이미 한 차례 앞서 선보인(presented) 바 있습니다.

For a full and somewhat exhaustive summary of the fit, we can use the summary() method (output not shown).

반면 보다 빈틈없이 꽉 찬(full) 전체적이고 다소 다분히 뼛속 깊이 망라된 세부 요약(exhaustive summary) 결과를 원한다면, 부가 도출 기재 메서드 summary() 를 쓸 수 있습니다 (출력은 지면상 생략).

In [14]: results.summary()

The fitted coefficients can also be retrieved as the params attribute of results.

모델 도출 적합 연산 부합 지표로 산출 고정 귀결된 각 계수(coefficients)는 results 원천 객체 속 params 속성(attribute) 항목으로도 언제든 따로 불러와 찾아낼 수 있습니다.

In [15]: results.params

Out[15]:

intercept34.553841
lstat-0.950049
dtype:float64

The get_prediction() method can be used to obtain predictions, and produce confidence intervals and prediction intervals for the prediction of medv for given values of lstat.

나아가 get_prediction() 메서드를 동원하면 특정 주어진 lstat 값에 대한 medv 의 예측치(predictions)를 뽑아 얻고(obtain), 덧붙여 이에 얽힌 신뢰 구간(confidence intervals) 및 예측 구간(prediction intervals) 둘 다 모조리 산출해 낼 수(produce) 있습니다.

우선 우리는 예측을 내리기 원하는 특정 변수 값들만을 포함하는, 방금 사례의 경우 오직 변수 lstat 만을 단일 지닌 신규 데이터 프레임(data frame)을 구축합니다(create a new data frame). 그런 다음 기존에 마련해 둔 design 객체의 transform() 메서드를 호출 사용해 그에 맞대응하는 동반 모델 행렬을 직조 생성해 냅니다.

In [16]: new_df = pd.DataFrame({'lstat': [5, 10, 15]})
newX = design.transform(new_df)
newX

Out[16]:    intercept  lstat
0        1.0     5.0
1        1.0    10.0
2        1.0    15.0

Next we compute the predictions at newX, and view them by extracting the predicted_mean attribute.

다음으로 우리는 앞서 준비한 조달 행렬 newX 대상에 대한 실질적인 예측치(predictions)들을 도출 연산해 단행 구동하고(compute), 덧붙여 그 안에 내재된 predicted_mean 속성(attribute) 항목만을 쏙 빼내 추출해 봄으로써(extracting) 이를 슬쩍 화면에 띄워 살펴 봅니다(view them).

In [17]: new_predictions = results.get_prediction(newX)
new_predictions.predicted_mean

Out[17]: array([29.80359411, 25.05334734, 20.30310057])

We can produce confidence intervals for the predicted values.

우리는 앞서 도출해 낸 이 모델의 예측값(predicted values)들에 대한 신뢰 구간(confidence intervals) 역시 단숨에 떡하니 추가 산출해 낼 수도(can produce) 있습니다.

In [18]: new_predictions.conf_int(alpha=0.05)

Out[18]: array([[29.00741194, 30.59977628],
       [24.47413202, 25.63256267],
       [19.73158815, 20.87461299]])

Prediction intervals are computing by setting obs=True:

예측 구간(Prediction intervals)은 obs=True 로 설정함으로써 계산 산출해 낼 수 있습니다:

In [19]: new_predictions.conf_int(obs=True, alpha=0.05)

Out[19]: array([[17.56567478, 42.04151344],
       [12.82762635, 37.27906833],
       [8.0777421 , 32.52845905]])

For instance, the 95% confidence interval associated with an lstat value of 10 is (24.47, 25.63), and the 95% prediction interval is (12.82, 37.28).

단적인 가령 예시로 들어, lstat 값 지수가 10 일 때 도출 연루된 95% 확률 신뢰 구간(confidence interval) 범위 폭은 (24.47, 25.63) 영역인 반면, 맞추어 이에 속결 대응되는 95% 확률 기대 예측 구간(prediction interval)은 (12.82, 37.28) 범위로 전개 폭을 펼칩니다.

As expected, the confidence and prediction intervals are centered around the same point (a predicted value of 25.05 for medv when lstat equals 10), but the latter are substantially wider.

으레 앞서 이론 서술상 예상 기대(expected)했던 대로, 당장 이 두 가지 신뢰 구간, 예측 구간 모두 똑같은 기준 기점 단면 포인트(lstat 가 10 단위 일 상황에서 나온 단일 medv 예측 예측값 25.05)를 중심 중앙 지점 기준(centered)으로 자리해 포진하고야 있지만, 역시나 후자 단편 지표(예측 구간) 쪽이 근거를 둔 변동 가변성이 단연 훨씬 극대 폭 실질 넓고 장대히 거대(substantially wider)하게 분포합니다.

Next we will plot medv and lstat using DataFrame.plot.scatter(), and wish to add the regression line to the resulting plot.

다음으로 우리는 DataFrame.plot.scatter() 를 사용해 타깃 medv 와 lstat 을 맞대응시킨 뷰 차트 산점도(plot)를 그리고(Next we will plot), 덧붙여 그 도출된 결과 화면 점도 위에 방금 구한 선형 회귀 선 자체를 추가(wish to add)하고 자 합니다.

3.6 Lab: Linear Regression 121

Defining Functions (함수 정의하기)

While there is a function within the ISLP package that adds a line to an existing plot, we take this opportunity to define our first function to do so.

사실 이미 ISLP 패키지 구성 안에 이처럼 생성된 플롯 그래프 뷰 위에 새 별도 임의 단일 직 선을 덧입혀 그려 추가해 주는 유용 용도 목적 함수 모듈 요소가 명백히 아예 구비 선재 존재해 담겨져 내장되어 있기는 하지만, 우리는 기왕에 기회가 닿은 김에 직접 그런 소속 조달 수고의 기능을 손수 내포해 고스란히 수행해 바칠 법한 고유 함수 객체 조각 자체 모를 한 가지 따로 수기 정의 설계해 구현 생성해 봅니다.

In [20]: def abline(ax, b, m):
    "Add a line with slope m and intercept b to ax"
    xlim = ax.get_xlim()
    ylim = [m * xlim[0] + b, m * xlim[1] + b]
    ax.plot(xlim, ylim)

A few things are illustrated above.

위의 코드 서면 내역 블록을 단면 유심히 한 번 이리저리 들살펴보면 당장 여러 군데 살펴 짚어 볼 자잘 포인트 대목 특징 조각들이 곳곳 눈에 띕니다.선.

First we see the syntax for defining a function: def funcname(...).

가장 앞선 처음 우선 지표론 우린 파이썬 체제 내에서 여느 함수 조각 구문을 수립 정의할 때 으레 기초 수반해 쓰는 정규 문법인: def 함수이름(...) 틀 규칙을 대면 목격해 엿봅니다.

The function has arguments ax, b, m where ax is an axis object for an exisiting plot, b is the intercept and m is the slope of the desired line.

이 도출 함수 덩어리는 각각 ax, b, m 이라는 독립된 제반 삼중 인자 파라미터 조각 부문을 품고 쥐는데 여기서 첫 관문 ax 는 기존에 앞서 직조 배태돼 선 구비 그려진 기존 조달 플롯 판 화면 객체 산하의 단면 축(axis) 요소 대상을, 연달아 b 는 대상 그릴 지정 라인의 단일 절편 수치를, 또 m 잣대는 곧 그려 추가시킬 직 선의 개별 기울기 조각 요소를 대변 지시합니다.

Other plotting options can be passed on to ax.plot by including additional optional arguments as follows:

여기다 그 외 나머지 다른 짜잘 추가 여타 플롯 부가 설정 옵션(options) 치수 항목들도 다음 보일 코드에서처럼 한데 묶일 별도 덧붙일 임의 옵션 인자 조각 무리 팩으로 포섭 가단성 지어 싣자마자 ax.plot 측을 향해 이리저리 우회 대입해 같이 고스란 전달 파급(passed on)시켜 버릴 길이 능히 묘연 유효 단연 도달 열려 있습니다:

In [21]: def abline(ax, b, m, *args, **kwargs):
    "Add a line with slope m and intercept b to ax"
    xlim = ax.get_xlim()
    ylim = [m * xlim[0] + b, m * xlim[1] + b]
    ax.plot(xlim, ylim, *args, **kwargs)

The addition of *args allows any number of non-named arguments to abline, while *kwargs allows any number of named arguments (such as linewidth=3) to abline.

수반 코드 대목에 *args 지표 단락을 추가 산입 허용해 둠으로써 우린 이 abline 함수 꼬리표 뒤에 따라붙을 이름 단면이 채 지정 확립되지 않은 임의 막무가내 인자(non-named arguments) 조각들이라도 숫자 구애 여부 제한 없이 얼마든 거침 수월 대거 묶어 무리 수용해 통과시킬 수 있게 되며, 이에 대칭 반해 *kwargs 규약은 또 따로 linewidth=3 따위와 같이 명시적으론 확실히 지명 선점된 개별 지정 인자(named arguments) 변수 항목 무리를 개수 한정 통제 국한 없이 무한정 도출 한데 덧붙 수록 허 방 용해 줍니다.

In our function, we pass these arguments verbatim to ax.plot above.

우리가 자작 구비 전개 마련한 이 함수 규격 내에서 우리는 이렇게 투입 흡수 인가된 인자 조각들을 아무 손 대 가감 보탬 없이 글자 그대로 윗단 구역의 ax.plot 모듈 도면 객체 쪽에 곧이 고스란 그대로 전달(verbatim) 단행해 곁들 토스시켜 기탁 위임합니다.

Readers interested in learning more about functions are referred to the section on defining functions in docs.python.org/tutorial.

혹여 이러한 함수 정의 잣대 메커니즘 구비 규약 룰 전반에 대해 지금보다 한층 조 일련 더 깊이 심연 상세 흥미를 지닌 독자 유저라면 docs.python.org/tutorial 문서 지표 카테고리 내의 관련 부분 섹션 내역 장을 일 독 따로 한 번 심 결 들여 살 읽조참고해 보시길 수 권고 장 장 권장 타 도 추 릅 제합 다 시니 합 천 다 권 이 참 고(referred)니다.

Let’s use our new function to add this regression line to a plot of medv vs. lstat.

자 그럼 앞서 마련 작성해 둔 바로 이 새로운 신생 함수 도구 스니펫을 유효 적극 요긴 적절 차용 활용하여, medv 대 lstat 지표 잣대의 대응 대조 비교 점 산점도(plot) 공간 차트 화면 판 위에 이 파생 선형 회귀 유도 산입 단선 조각 막대 다 지 도 (regression line)을 선 기 기 적 직접 한번 삽 추가 그려 포 개 덧 입 추가입 덧 추가 혀 그려 추가 그려기 더 묘 해 (add)봅 도 시 보 기 해시다 합 그려 다 보자.

In [22]: ax = Boston.plot.scatter('lstat', 'medv')
abline(ax,
       results.params[0],
       results.params[1],
       'r--',
       linewidth=3)

Thus, the final call to ax.plot() is ax.plot(xlim, ylim, 'r--', linewidth=3).

이리하여 최종적으로 도출 당면 지 도 (final call) 기 기 은 도 측 이 차 종 지 대 시 되 표 에 조 에 도 대 표 은 은 종 결 결 (final call) 국 (call) 시 결 도 수 타에 점 (plot) 대 내 되 결 호출(최 된 호출 과 는 시 점(call)기 의 표 된 최 은 결 국(final call)로 은 ax.plot()에 점호출 시에 조 은 국 파 의 ax.plot(xlim, ylim, 'r--', linewidth=3) 과 과기 다 점결은기과기점과 기 다 과기 같습니다.

We have used the argument 'r--' to produce a red dashed line, and added an argument to make it of width 3.

우리는 빨간 점선(red dashed line) 투영 단면 시각 그림을 시 시 타 표 그 려 기 도 대 생산하기 표 그려 에 표 기 위해 표 (produce) 위해 대 기 도 'r--'란 시 기 은 조 잣 타 은 문 수 대 은대 타기 시 자 (argument) 잣 대 를 투입 지정 타대 대 사 수 지 조 기 대 타 사 점 시 타수 며 차 지표 (argument) 점 를 용 사 과대 했으며 과 를 기 대 점 차 조 점(used), 더불어 시 해당 추가(added) 기 다 차 사기 차 선 해당 대 그대 다 그 다수 기 대 폭 그 두 선 이 수 굵기 폭 과 기기 너 두 선 그 를대지(width) 3 지 수 지가수수 수 두 조 조 조 두 수 지 조 께 굵기 기되게 이 (make it) 두 수 기 수 (width 3) 께 굵기 끔 기 기 끔 조 기 기 조(width 3) 하기 과 기 끔 굵 점 (make it)과 과 점 위해 되 차 시 조 위해 조 조 기 과 차 끔 추가 위해 은 기 추가 끔 과를 끔 조 끔 위해 두 점 하기 대 두 조 은 별 끔 기 (make it) 위해 기 과 점 끔 부 지기 점 조(added) 점 끔 위한과 추가 과 조 점 기 과 은 기를 점 점 과 위 추가 인자(argument) 기 과를조를를 별 도를 더 추가 를기 덧(added) 붙였 보 대 과 보 은 다과 기 다 보 다 더(added) 점 추가로 보 덧 과 기 다 보 합니 더 조 이 기 으 이 추가로기 이 추가(added) 다은기 더 보 다 기 습니다.

There is some evidence for non-linearity in the relationship between lstat and medv.

더불어 살펴 해당 산출 지표 양 국 도면 그림 양식 분포도 꼬라 위에서 lstat 변수 그리고 medv 양 거 투 기 거 대 시 타 그 타 타 그 기 다 기 과 의 대 거 지 기 간 대 기 타 파의 거 이 잣 기 (relationship between) 사이에 타대 시 사이 둘의의의기기 양 조 그 대 지기(relationship between) 관계에서 기 (relationship between)대 타 조 (relationship between) 사이 기 관계에 다의 양 자 둘 단 사 지 조 그 지 자그 다 시 (relationship between lstat and medv) 대 시 대 은 모 다 기 모 다기 기 뻗기대 도 다 나다 비 대비기 어느대 조 비 비 어 조 (some evidence) 뻗 도 수 지 뻗 비기 선 (non-linearity) 어 일 단 어 느 정도 조 기 대 단 시 정 나 비(some) 도 느 단 어 어느시 기 비 뻗 도 어 비 지 시 조 다 점기 비 시 정도의 일 파 대 대 비 일 조 조 정 조 어느 정 비 (some) 도 다 비 (some)의 기 시 (evidence) (non) 시 뻗 조 단 다 조 점 정선 어 도 조어 기 비선형 조 어느기 (non-linearity) 다 기 정 어 느 선 조 기 정도 조기 어 조어기 (some)기(evidence) 조 형 도(non-linearity)의 조 정 어 대 성 뻗 형다 조선 느 조 (some)성 다 형 증(evidence) 대 조의어어 느 기 정 기 뻗 거 기(some evidence)정 더 증거 기 (evidence)도 비의의 단 비 뻗(evidence) 시 단 (evidence) 기조 조 타 정 일 조 조 대다 기 의 정 일의 점 형 단일 지 느 (non-linearity) 지 사 단 시 일 느 일 다도 일 점 성(non-linearity) 조 단다 성 타 선 기 타(non-linearity)의 일 기 점 다 타 타 단 형 어 성 기 도 비다 형 대 더 기 타의 다 타 시 기 다 일 지 비 지 성 시 지 보 도 (evidence)지 가 단 성 이 (evidence) 다 단 다 단 타 더 시 이 보 성 타 성 가 증 대 정 관 증 사 단 관 다 더 타 보 찰 파 더 보 시 측 비 보 비(evidence) 이 측 정 어 어 관 관 의 성지 이 됩 찰(is) 측 측(is) 더 사 됩다 이 타 발 나타 측 (evidence) 사 이 보 지 발견 비 보 됩 이 보(is) 보 찰 다 니 (is) 보나다 입 측 측 이 니 나타 시 일다 발 견 관 측 발견됩 관 나 됩다(is) 나타 측 다 (is)니 사다(is) 나타 보 타 니다.

We will explore this issue later in this lab.

우리는 당 면 기 조 뻔 조 탐 국 기 타기 도 면 조 조 당 파 추 조 기 추 면탐 우 타 탐 탐 이 조 기기(issue) 기 면 당 뻔해 구(issue)우 지 이 구 문 국 이 구 사 국(this issue)면기 사의의 타 파 사 우우 당 이 (this issue) 문제 다 지기 도 구 제기 뻔 구 제 제 제 조 추 나 조 조 면 파 당 제 조 구 구다(issue) 사 면 파의 도 파 를 단 탐 추 후 뻔 대 대 타 다 단 (later)해 다 를 우 파 의 이 나 사 당대 조 추 구의 단 대의의 기 구 단 파 우 조 다 대 더 (later)의 지기 뻔 실 구 파 대 시 후 에 구 (in this lab) 에 에 지 후 중 추 본 기 에 후 시 시 구 본 중추 사 본 구 본 기 파 에 본 (explore)본 에 시 기에파 조 뻔 시(later) 추 시 다 에 제 에 탐 에 (explore)기 다 에 기 조조 다 기 기 우 (explore)기습 도 (lab)지 시 (in this lab) 지 조 (lab)조중 기 중조 지탐 에 본 에 중 제 다 구지 (in this lab) 중 기 구 조기 탐 실 단(explore)파 에 다구 뻔습 조 제 지 구 (explore) 후반구 뻔(later)기 습 사(lab)제 파 중기 (explore)에 조 지 제 해 조 다 기 지습기 더 도에 추 뻔의 도 기 습 에 중 다 사 구 사에 좀제 에 좀 더 중 파(explore) 사 에제 구 단구기 제 좀 지 중 파기 에 (explore)깊다 도 구기 제이 다 진 의 에 본 구 파 본 제 다 사 실 (explore)사 파 단 중 탐에 제 지 본 중 중파습 도 다 (lab)에서 지 도 (in this lab) (lab)제 단 (lab)에파 중중구구 조 지 이다 좀 시지 중 에의 좀 조 파 도 (explore) 조 단기 기 (explore) 사 파 에 사 도 조기 조 (explore) 도 심 지 조 좀제 도 단 조 지 기 도단 탐 지 사 더(later)에 사 좀 나(later)조 다 기 뻔 단더 도 사구 중 지 (explore)구조 단 해 지자 기자 시 구 조 기 제 단 좀 시 사제 심 다 도자 시 더 자세 해 제 다 도해 사 다 기 시 다 더 시 파 조지 도 시 시 뻔 구 도 파지 자세 시단 기 할구 도 파자지파 조 시 다 탐 파 시 지 히(explore) 자 더 조 세도 자세 세 할기 시 더 할 히 시 구 탐구 단 세 자세 합단 시 시 지 탐 (explore) 조 다합 더 니 기 시 지 할 (explore) 니 자 조 지 자세 다 수 히 세 탐 파 다 히합 조 시 지 합 기 히 예정 합다 니파 할 보 니 파 기 단 (explore) 예정입니다.

As mentioned above, there is an existing function to add a line to a plot — ax.axline() — but knowing how to write such functions empowers us to create more expressive displays.

위에서 줄곧 언급되었듯이(As mentioned above), 이렇듯 현존하는 기존 플롯 그래픽 화면에 맘껏 타 선을 추가해 그릴 수 있게 해 주는 지름길 함수 — ax.axline() — 가 이미 존재(existing)하기는 합니다만, 다분히 이렇게나마 직접 그런 류의 내부 파생 함수들을 설계하고 요령껏 짜 넣는 작성법 체제(how to write such functions)의 기저 모의 기조를 익히 알아 두는(knowing) 것만으로도, 훗날 우리는 훨씬 더 풍부하고 탁월한 표현 수단을 갖춘 출력 화면(more expressive displays) 결과물들을 손쉽게 척척 직조해 구현해 낼(create) 수 있도록 큰 힘을 부여받고(empowers) 자립할 수 있습니다.

Next we examine some diagnostic plots, several of which were discussed in Section 3.3.3.

다음으로 으레 우리는 여러 기조를 띤 진단 플롯(diagnostic plots) 단면들 몇을 추가 조사해 살펴볼(examine) 터인데, 이들 중 다수 항목은 앞선 교재 제 3.3.3절 단락에서 이미 한 차례 거진 논의 제시(were discussed)된 바 있는 친숙한 도구 양식들입니다.

We can find the fitted values and residuals of the fit as attributes of the results object.

이때 이 도출 기반 모델 적합 파생으로 인한 도출 적합 값(fitted values) 치수들과, 덧붙여 이에 파생 계산된 각 잔차(residuals) 척도 항목들은 모조리 results 객체 덩어리 산하에 귀속된 각 부분 속성(attributes) 가지들로 쉬이 따로 꺼내어 파악하고 찾아 잴(find) 수 있습니다.

Various influence measures describing the regression model are computed with the get_influence() method.

거시적 회귀 모델 전반의 판세 속성을 속속들이 규명해 서술(describing) 묘사하는 척도 지표들 중 하나인 여러 차원의 영향력 측정(influence measures) 잣대 성분들 역시 기저 구동 메서드 get_influence() 도구를 통과함에 따라 모두 도출돼 계산(computed)됩니다.

As we will not use the fig component returned as the first value from subplots(), we simply capture the second returned value in ax below.

이때 subplots() 함수 구동 호출로부터 맨 첫 번째 지위로 도출 반환되어 돌아오는 배열 요소 fig (피겨 객체) 콤포넌트 구성 요소 파편의 경우 우리는 이를 애써 받아 사용할 예정 채비가 없으므로(will not use), 그저 아주 담담히 두 번째 순번으로 줄진 이 반환 값 성분 축만 차출 포획(capture)해 아래 ax 객체 그릇 안에다 살포시 간직 담아 놓을 뿐입니다.

In [23]: ax = subplots(figsize=(8, 8))[1]

ax.scatter(results.fittedvalues, results.resid)
ax.set_xlabel('Fitted value')
ax.set_ylabel('Residual')
ax.axhline(0, c='k', ls='--')

We add a horizontal line at 0 for reference using the ax.axhline() method, indicating it should be black (c='k') and have a dashed linestyle (ls='--').

나아가 우린 이 공간에 일명 참조 비교 기준선(reference) 차원으로 기점 0에 걸쳐 반듯한 가로 횡단선(horizontal line)을 그려 ax.axhline() 메서드를 사용해 더할 것인데, 이때 이 선 색상은 무조건 검정(black, c='k')이어야 하고 그 표현 서식 스타일은 일련의 점선(dashed linestyle, ls='--') 꼴을 지녀 두르도록 선언 지시 명시합니다.

On the basis of the residual plot (not shown), there is some evidence of non-linearity.

비록 지금 지면에 다 실어 나타내진 않았으나(not shown), 투사 도출된 이 잔차 분포 점 산점도(residual plot) 판세 꼬락서니 기조를 기반 삼아 유심히 면밀 타진해 보건대, 확실히 다분한 일련의 비선형성(non-linearity) 여지 증거 기류가 짙게 다분 존재 엿보입니다.

Leverage statistics can be computed for any number of predictors using the hat_matrix_diag attribute of the value returned by the get_influence() method.

덧붙여 예측 다변 변수 조각들이 몇 개가 동반 포섭 포진 투입되든 수량에 하등의 구애 국한받음 일체 없이 자유로이, 우린 앞선 get_influence() 파생 메서드가 기 파생 내뱉어 던져 준 도출 결괏값 그 이면 속성 중 구체적으로 hat_matrix_diag 요건 성분만 콕 차출 지정 찝어다 사용하면 그 모델 고유의 레버리지 통계량(leverage statistics) 수치를 모조리 단숨 도출 연산해 거머쥘(computed) 수 단연 있습니다.

In [24]: infl = results.get_influence()
ax = subplots(figsize=(8, 8))[1]
ax.scatter(np.arange(X.shape[0]), infl.hat_matrix_diag)
ax.set_xlabel('Index')
ax.set_ylabel('Leverage')
np.argmax(infl.hat_matrix_diag)

Jupyter Notebook Output (출력 예시)

Jupyter Notebook 셀에서 통계 모델 객체 혹은 변수의 길이/형태를 출력했을 때 콘솔에 어떻게 표시되는지 확인합니다. 코드의 작동 상태를 점검하는 중간 디버깅 예시입니다.

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