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3.1 Simple Linear Regression
3.1 단순 선형 회귀 (Simple Linear Regression)
Simple linear regression lives up to its name: it is a very straightforward approach for predicting a quantitative response $Y$ on the basis of a single predictor variable $X$. It assumes that there is approximately a linear relationship between $X$ and $Y$. Mathematically, we can write this linear relationship as
단순 선형 회귀(Simple linear regression) 는 그 이름 그대로입니다: 단일 예측 변수 $X$ 를 바탕으로 양적 응답 $Y$ 를 예측하기 위한 매우 직관적인 접근법입니다. 이 기법은 $X$ 와 $Y$ 사이에 대략적인 선형 관계가 존재한다고 가정합니다. 수학적으로, 이러한 선형 관계는 다음과 같이 작성할 수 있습니다:
\[Y \approx \beta_0 + \beta_1 X \quad (3.1)\]You might read “$\approx$” as “is approximately modeled as”. We will sometimes describe (3.1) by saying that we are regressing $Y$ on $X$ (or $Y$ onto $X$).
기호 “$\approx$” 는 “~로 대략 모델링된다” 라고 읽을 수 있습니다. 때때로 우리는 식 (3.1) 을 가리켜 ‘$Y$ 를 $X$ 에 대해 회귀시킨다(regressing $Y$ on $X$)’ (혹은 ‘$X$ 위로 $Y$ 를 회귀시킨다’ ) 라고 표현하기도 합니다.
For example, $X$ may represent TV advertising and $Y$ may represent sales. Then we can regress sales onto TV by fitting the model
예를 들어, 판단 요인 $X$ 가 TV 광고비를 나타내고 그로 인한 결과 지표 $Y$ 가 sales (판매량) 을 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 우리는 다음과 같은 모델을 적합함으로써 sales 변수를 TV 기준 상에 회귀시킬 수 있습니다:
In Equation 3.1, $\beta_0$ and $\beta_1$ are two unknown constants that represent the intercept and slope terms in the linear model. Together, $\beta_0$ and $\beta_1$ are known as the model coefficients or parameters. Once we have used our training data to produce estimates $\hat{\beta}_0$ and $\hat{\beta}_1$ for the model coefficients, we can predict future sales on the basis of a particular value of TV advertising by computing
방정식 3.1 에서 $\beta_0$ 와 $\beta_1$ 은 선형 모델에서 절편(intercept) 과 기울기(slope) 항을 나타내는 두 미지 상수입니다. 두 상수를 묶어, $\beta_0$ 와 $\beta_1$ 은 모델 계수(coefficients) 또는 파라미터(parameters) 라고 알려져 있습니다. 일단 훈련 데이터를 사용하여 모델 계수에 대한 추정치 $\hat{\beta}_0$ 와 $\hat{\beta}_1$ 를 생성하고 나면, 우리는 다음을 계산하여 특정한 TV 광고 예산 값을 바탕으로 미래의 판매량을 예측할 수 있습니다:
\[\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x \quad (3.3)\]where $\hat{y}$ indicates a prediction of $Y$ on the basis of $X = x$. Here we use a hat symbol, $\hat{ }$, to denote the estimated value for an unknown parameter or coefficient, or to denote the predicted value of the response.
여기서 $\hat{y}$ 는 $X = x$ 값에 기초한 결괏값 $Y$ 의 예측값을 나타냅니다. 여기서 우리는 알지 못하는 파라미터나 계수에 대한 추정치를 표시하거나, 혹은 응답 변수의 예측값을 나타내기 위해 햇(hat) 기호인 $\hat{ }$ 모양을 사용합니다.
Sub-Chapters (하위 목차)
3.1.1 Estimating the Coefficients (계수 추정)
주어진 훈련 데이터를 가장 잘 설명하는 회귀 계수를 추정하기 위해 최소 제곱법(Least Squares)을 사용하는 과정을 살펴봅니다. 잔차(Residual)의 개념과 잔차 제곱합(RSS)을 최소화하는 수학적 직관을 다룹니다.
3.1.2 Assessing the Accuracy of the Coefficient Estimates (계수 추정치의 정확도 평가)
추정한 회귀 계수가 실제 모집단 계수와 얼마나 가까운지(표준 오차, 신뢰 구간) 통계적으로 검증하는 방법을 배웁니다. 가설 검정(Hypothesis Testing)과 p-값(p-value)을 통해 변수의 유의성을 판단하는 법을 다룹니다.
3.1.3 Assessing the Accuracy of the Model (모델의 정확도 평가)
적합된 선형 회귀 모델이 전체 데이터의 변동성을 얼마나 잘 설명하는지 R²(결정계수) 통계량 등으로 측정합니다. 또한 잔차 표준 오차(RSE)를 통해 실제 예측값이 모델 적합선과 차이나는 절대적 오차를 파악합니다.
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