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| < 3. Linear Regression | 3.1.1 Estimating the Coefficients > |
3.1 Simple Linear Regression
3.1 단순 선형 회귀 (단일 재료(X)로 매상(Y) 예측하기)
Simple linear regression lives up to its name: it is a very straightforward approach for predicting a quantitative response $Y$ on the basis of a single predictor variable $X$. It assumes that there is approximately a linear relationship between $X$ and $Y$. Mathematically, we can write this linear relationship as 머신러닝과 통계적 학습의 세계에서 가장 처음 꺼내 드는 기본 무기인 _단순 선형 회귀(Simple linear regression)_는 그 담백한 이름값을 톡톡히 해냅니다. 왜냐하면 오직 단 1개의 힌트(원인 변수 $X$)만 쥐고서 수치로 된 결과(응답 $Y$)를 때려 맞춰보는 아주 직관적이고 1차원적인 훈련법이기 때문입니다. 이 기법은 세상만사가 $X$ 와 $Y$ 사이에 대충 자를 댄 듯한 정직한 비례(선형) 관계를 이룬다고 순진하게 믿고 시작합니다. 배운 사람답게 이것을 수학 공식으로 세련되게 풀면 다음과 같이 일직선의 방정식으로 적힙니다.
\[Y \approx \beta_0 + \beta_1 X \quad (3.1)\]You might read “$\approx$” as “is approximately modeled as”. We will sometimes describe (3.1) by saying that we are regressing $Y$ on $X$ (or $Y$ onto $X$). 공식 중간에 낀 구불구불한 물결 기호 “$\approx$” 는 ”~ 모양으로 대충 얼버무려 근사 모델링된다” 라는 뉘앙스로 읽어주시면 됩니다. 또한 통계학자들의 허세 가득한 은어로는 식 (3.1) 이 하는 짓을 가리켜 ‘$Y$ 변수를 $X$ 변수 위로 엎어버려 회귀시킨다(regressing $Y$ on $X$)’ 라고 멋들여지게 부르기도 합니다.
For example, $X$ may represent TV advertising and $Y$ may represent sales. Then we can regress sales onto TV by fitting the model
쉬운 예시를 들어보죠. 우리가 사장님이라 치고, 힌트 변수 $X$ 가 ‘올해 들이부은 TV 광고비’를 뜻하고 결과물 $Y$ 가 ‘이번 달 팔려나간 매상 sales‘를 가리킨다고 가정해봅시다. 그렇다면 우리는 다음과 같은 모델 공식을 끼워 맞추어 보면서 sales(매출)가 TV(광고) 덕분에 어떻게 오르내리는지(회귀하는지) 패턴을 그려볼 수 있게 됩니다.
In Equation 3.1, $\beta_0$ and $\beta_1$ are two unknown constants that represent the intercept and slope terms in the linear model. Together, $\beta_0$ and $\beta_1$ are known as the model coefficients or parameters. Once we have used our training data to produce estimates $\hat{\beta}0$ and $\hat{\beta}_1$ for the model coefficients, we can predict future sales on the basis of a particular value of TV advertising by computing 위 방정식들(3.1, 3.2) 안에서 알짱거리는 $\beta_0$ 와 $\beta_1$ 이란 녀석들은, 우리가 감히 죽었다 깨어나도 완벽히 알 길이 없는 우주의 진리 숫자들입니다. 하나(_절편)는 티비 광고가 0원일 때도 팔리는 기본 바닥 매출 수치를 나타태고, 다른 하나(기울기)는 돈을 태울 때마다 매출이 치솟는 각도를 나타내죠. 이 두 녀석을 묶어서 멋진 말로 모델 무기의 계수(coefficients) 또는 파라미터(parameters) 라고 칭합니다. 만약 우리가 과거의 장부 기록(훈련 데이터)을 요리조리 분석해서 저 신의 숫자들과 얼추 비슷할 것 같은 가짜 인간용 추정치인 $\hat{\beta}_0$ 여분의 타진 값과 $\hat{\beta}_1$를 기어이 구출해 냈다고 칩시다. 그렇다면 우리는 이 숫자를 공식에 박아 넣어 향후 회장님이 “TV에 이만큼 돈 쓸 건데 매출 얼마 나올까?” 물어보실 때 다음과 같은 계산을 돌려 바로 대답할 수 있게 됩니다.
\[\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x \quad (3.3)\]where $\hat{y}$ indicates a prediction of $Y$ on the basis of $X = x$. Here we use a hat symbol, $\hat{ }$, to denote the estimated value for an unknown parameter or coefficient, or to denote the predicted value of the response. 여기 수식 3.3 통에 나온 $\hat{y}$ 은 당신이 $X$ 값에 임의의 원인 $x$를 쑤셔 넣었을 때 툭 튀어나오리라 기대되는 $Y$ 의 가짜 예측치 점수를 상징합니다. 통계 동네의 국룰 암호가 하나 있는데요, 어떤 무서운 수학 기호 위에 꼬깔모자 모양의 햇(hat) 기호, 즉 $\hat{ }$ 모양이 씌워져 있다면 쫄지 마세요. 이건 “신의 계시로 얻은 진짜 절대 진리 값이 아니라, 우리가 불완전한 점들을 모아 나름대로 최대한 기를 써서 어림잡아 예측해 본 가짜 추정치 기록물입니다!” 라고 자백 표시를 남겨두는 귀여운 표식 기호일 뿐이니까요.
Sub-Chapters (하위 목차)
3.1.1 Estimating the Coefficients (계수 추정)
장부에 적힌 200개의 진짜 데이터를 보고, 가장 오차가 적은 최적의 붕어빵 예측 선을 긋기 위해 $\beta_0$와 $\beta_1$ 값을 추측해 내는 ‘최소 제곱법’이라는 마법 파훼법을 배웁니다.
3.1.2 Assessing the Accuracy of the Coefficient Estimates (계수 추정치의 정확도 평가)
우리가 열심히 선을 긋긴 그었는데, 이 가짜 선이 진짜 우주의 법칙과 얼마나 일치하거나 오차가 날지(표준 오차, 신뢰 구간) 평가해 보고 확률 법정에서 승소해 봅니다.
3.1.3 Assessing the Accuracy of the Model (모델의 정확도 평가)
그래서 최종적으로 우리 식당의 임시 매상 예측기가 만약에 성적표를 받는다면? $R^2$(설명력 점수)라는 잔인한 채점표를 통해 우리 모델의 우수성을 채점해 봅니다.
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